POLINOMIOS

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1)Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2)Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3) Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones para encontrar el segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (−1)³ + 3 · (−1)² − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2