Suma y resta de polinomios

Pasos:

Ejemplo:

Sumar los polinomios:

P(x) = 2x³ + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1) Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2) Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3x² + 5x + 4x − 3

3) Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

• También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2

Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5

Ejemplo:

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

Pasos:

1) Cambiamos el signo del segundo paréntesis.

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

2) Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

3) Sumamos los monomios semejantes.

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

• Tarea 1 de evaluación en el aula.

• Tarea 2 de evaluación en el aula. 

Producto de un número por un polinomio

Ejemplos

I) 3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

El signo · delante del paréntesis se puede omitir.

II) 2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

• TAREA DE EVALUACIÓN EN EL AULA

Producto de un monomio por un polinomio

Ejemplo:

I) 3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

El signo · delante del paréntesis se puede omitir

II) 2x(x⁴− 3x²+ 5x − 1) = 2x⁵ − 6x³ + 10x² − 2x

• TEST DE EVALUACIÓN EN EL AULA. 

Producto de dos polinomios.

OPCIÓN 1.

PASOS:

1. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = = 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

   2. Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

   3. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

OPCIÓN 2.

PASOS:

1. Escribimos un polinomio debajo del otro.

2. En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio.

3. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.

4. Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.

• TEST 1 DE EVALUACIÓN EN EL AULA. 
• TEST 2 DE EVALUACIÓN EN EL AULA.
• TEST 3 DE AVALUACIÓN EN EL AULA

División de polinomios

Ejemplos:

I) (2x³ − 4x² + 6x − 2): 2 = x³ − 2x² + 3x − 1

II)  (6x³ − 3x² + 9x − 4): 3 = 2x³ − x² + 3x −  

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Ejemplos:

I) (2x⁴ − 4x³ + 8x² − 12x): 2x = x³ − 2x² + 4x − 6

II) (2x⁶ − 4x⁴ + x²) : 2x² = x⁴ − 2x² +  

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico con los polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

CALCULA  P(x) :  Q(x)

1) - A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

- A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

2) - Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

3) - Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

4) - Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.

• TEST 1 DE EVALUACIÓN EN EL AULA
• TEST 2 DE EVALUACIÓN EN EL AULA
• TEST 3 DE EVALUACIÓN EN EL AULA

DIVISIÓN DE POLINOMIOS. REGLA DE RUFFINI.

• Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

Ejemplo I: 

 Dividir: (x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

1) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros

(x⁴ + 0x³ − 3x² + 0x + 2 ) : (x − 3)

2)  Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea

3) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor: −(−3) = 3

4) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1)

5) Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (3) y lo colocamos debajo del siguiente término (0)

6) Sumamos los dos coeficientes (0 + 3)

7) Repetimos el proceso anterior (3 · 3 = 9;    −3 + 9 = 6)

Volvemos a repetir el proceso (3 · 6 = 18;    0 + 18 = 18)

Volvemos a repetir (3 · 18 = 54;    2 + 54 = 56)

8) El último número obtenido, 56, es el resto

9) El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido

x³ + 3x² + 6x +18

EJEMPLO II:  Dividir por la regla de Ruffini: (x⁵ − 32) : (x − 2)

1) Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros

(x⁵ + 0x⁴ + 0x³ − 0x² + 0x − 32 ) : (x − 2)

2) Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea

3) Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor: −(−2) = 2

4) Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1)

5) Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (2) y lo colocamos debajo del siguiente término (0)

6) Sumamos los dos coeficientes (0 + 2)

7) Repetimos los pasos 5 y 6 hasta el final

Cociente: x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x + 16

Resto: 0

• Tarea 1de evaluación en el aula.

• Tarea 2 de evaluación en el aula. 

• Tarea 3 de evaluación en el aula.

• Tarea 4 de evaluación en el aula. 

Teorema del Resto

Ejemplos:

I) Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:

 (x⁴ − 3x² + 2) : (x − 3)

1. Tenemos que hallar el valor numérico del polinomio para x = 3, es decir, para el término independiente del binomio cambiado de signo.

2. P(3) = 3⁴ − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

3. Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

 II)  Dado el polinomio: P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6, halla el resto que se obtiene al dividirlo por:

   Caso a)  (x + 1).

1. En este caso x = −1

2. Calculamos el valor numérico de P(x) en x=-1 : 

P(−1) = 2 · (−1)⁴ + (−1)³ − 8 · (−1)² − (−1) + 6 =

= 2 · 1 − 1 − 8 · 1 + 1 + 6 = 2 − 1 − 8 + 1 + 6 = 0

3. Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción dividiendo por 2.

  Caso b)  (x - 1).

1. Hallamos el valor numérico para x = 1

2. P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

 Caso c)  (x + 2).

1. Hallamos el valor numérico para x = -2

2. P(−2) = 2 · (−2)⁴ + (−2)³ − 8 · (−2)² − (−2) + 6 =

= 2 · 16 − 8 − 8 · 4 + 2 + 6 = 32 − 8 − 32 + 2 + 6 = 0

Caso d)  (x - 2).

1. Hallamos el valor numérico para x = 2

2. P(2) = 2 · 2⁴ + 2³ − 8 · 2² − 2 + 6 = 2 · 16 + 8 − 8 · 4 − 2 + 6 =

=32 + 8 − 32 − 2 + 6 = 12

• Tarea 1 de evaluación en el aula.

• Tarea 2 de evaluación en el aula.

• Tarea 3 de evaluación en el aula. 

• Tarea 4 de evaluación en el aula. 

1. Si no hay término independiente hay que sacar factor común.
2. Sacar factor común de una suma (o resta) consiste en trasformarla en un producto
3. Aplicaríamos la propiedad distributiva:

a · b + a · c − a · d = a (b + c − d)

Ejemplos: Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1) x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2) 2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule ya que al estar la x elevada al cuadrado, siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

2) Doble extracción de factor común

 x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a)

1. Sacamos factor común de x y b.
2. Como (x − a) es ahora un factor común en el segundo miembro, sacamos factor común  (x − a) .
3. x² − ax − bx + ab = (x − a) · (x − b)
4. La raíces son x = a y x = b.

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

Ejemplos:  Descomponer en factores y hallar las raíces

1) x² − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2) x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) =

= (x + 2) · (x − 2) · (x² + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

3. Si tenemos un trinomio

1)Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

Pasos: 

Tenemos que descomponer en factores y hallar las raíces

1º) Tenemos que preguntarnos:

Qué número elevado al cuadrado da b² ? Ese será b

Qué número elevado al cuadrado da a²: Ese será a

Y tenemos que comprobar que 2 · a · b = 2ab (el término que no corresponde con un cuadrado perfecto)

2) Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Pasos: 

1º) Descomponer en factores y hallar las raíces

2º) Igualamos el trinomio a cero

3º) Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado.

3) Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

1)Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2)Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3) Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones para encontrar el segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (−1)³ + 3 · (−1)² − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

• Tarea de evaluación en el aula.