Concepto de fracción

¿Qué es una fracción?

Vamos primero con la parte "fea". ¿Qué es una fracción desde un punto de vista matemático?

icono_definicion DEFINCIÓN Una fracción es una expresión de la forma , donde y son números enteros, con distinto de cero. Al número se le llama numerador y al número se le llama denominador.

Matemáticamente no significa más que coger un número entero y ponerlo encima de otro número entero distinto de cero, separados por una barra horizontal. Bien, pero ¿qué significa eso? ¿Cómo interpretamos una fracción?

1.- FRACCIÓN COMO PARTE DE UN TODO

Podemos interpretar el denominador de la fracción como el número de partes en que está dividido un todo y el denominador como la cantidad de partes "seleccionadas" de ese todo. Por ejemplo:

$ejempl_fraccion_parte_todo$

En todas las figuras está representada la fracción

OBSERVACIÓN ¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo podemos tomar más partes de las que hay?

Buena pregunta. En principio, según esta interpretación de las fracciones, no tendría sentido que el numerador fuese mayor que el denominador. De hecho por ese motivo, diferenciamos entre dos tipos de fracciones:

icono_definicion DEFINCIÓN

Una fracción se dice PROPIA si el valor absoluto de su numerador es menor que el valor absoluto de su denominador.
Una fracción se dice IMPROPIA si el valor absoluto de su numerador es mayor que el valor absoluto de su denominador.
Una fracción se dice UNITARIA si su numerador y su denominador son iguales.

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos copias completas de algo y, según el caso, alguna copia incompleta. Por ejemplo:

$ejemplo_fraccion_impropia$

Para poder escoger trece quintas partes necesitamos diez quintas partes (2 unidades completas) y tres quintas partes (que sí sería una fracción propia).

2.- FRACCIÓN COMO OPERADOR

Piensa en la siguiente situación: En 2º ESO A hay 24 alumnos y en 2º ESO B hay 20. En ambos grupos tres cuartas partes de los alumnos tienen ordenador en casa. ¿Cuántos alumnos tienen ordenador en cada grupo?

Una misma fracción nos sirve para representar dos cantidades distintas. La fracción es la misma para los grupos, pero el total de alumnos es diferente (del mismo modo que "el todo" era diferente para cada una de las figuras de los ejemplos anteriores). Sin embargo, podemos usar la fracción como un operador para calcular la cantidad exacta de alumnos de cada grupo que tienen ordenador en casa.

Una fracción funciona como operador de la manera esperable: Dividimos el total entre el denominador para calcular cuantos grupos del tamaño del denominador podemos hacer y multiplicamos por el numerador, que representa la cantidad de esos grupos que tomamos.

En el ejemplo:

Por tanto, alumnos de 2º ESO A tienen ordenador en casa y alumnos de 2º ESO B tienen ordenador en casa.

OBSERVACIÓN Si te fijas en los ejemplos, podemos escoger dividir entre el denominador en primer lugar o multiplicar por el numerador en primer lugar.

3.- FRACCIÓN COMO COCIENTE DE DOS NÚMEROS

También podemos pensar en una fracción como una división entre dos números enteros, donde el numerador sería el dividendo y el denominador sería el divisor. El resultado podría ser un número entero (si el numerador es múltiplo del denominador) o un número decimal, de los que repasaremos sus propiedades en la parte final de la unidad.

Ejemplos:

OBSERVACIÓN Teniendo en cuenta las definiciones que hemos visto, podríamos decir también que:

Una fracción es PROPIA si el número que representa está entre y , sin llegar a ser ni ni .
Una fracción es IMPROPIA si el número que representa es mayor que o menor que .
Una fracción es UNITARIA si representa exactamente al número o .

Piensa...

Fíjate en los ejemplos que tienes justo encima. ¿Crees que sería posible que el resultado de dividir dos números enteros fuese un número decimal que no fuese exacto ni periódico?

Si no son enteros, ¿qué son las fracciones?

Por lo que hemos visto, las fracciones no siempre representan números enteros. ¿Tienen nombre los números que se pueden representar mediante una fracción?

DEFINICIÓN Los números que se pueden representar mediante una fracción se llaman números racionales.

NOTACIÓN El conjunto de los números racionales está representado por la letra . El conjunto de los racionales contiene al conjunto de los enteros, ya que todo entero se puede expresar mediante una fracción de numerador el propio entero y denominador .

Podemos escribir .