Primos y compuestos

¿Qué es un primo?

¿Cuál sería la mejor descomposición para un número entero? Lo ideal sería encontrar aquella en la que las piezas fuesen simples, es decir, que nos se puedan descomponer a su vez en algo más "pequeño". A partir de esta idea podemos definir dos tipos de números enteros.

DEF DEFINICIÓN

  • Decimos que un número es primo si es distinto de 1 y -1 y sólo tiene como divisores al 1 y a él mismo, además de sus opuestos. Es decir, un número primo es aquel que no se puede descomponer en factores más pequeños.
  • Decimos que un número es compuesto si es distinto de 1 y -1 y no es primo. Es decir, un número compuesto es aquel que se puede descomponer en factores más pequeños.
  • El  1 y -1 no se consideran ni primos ni compuestos. Se llaman unidades.

 

icono_observacion OBSERVACIÓN

  • En principio no habría ningún problema en considerar números primos positivos y negativos, pero para evitar confusiones trabajaremos sólo con primos positivos. De hecho, para resolver el problema de la factorización, el signo no tiene importancia.
  • Otro detalle importante. Los números primos son infinitos, así que queda descartada la opción de "chapárselos" para el examen. Tampoco será necesario. Manejaremos habitualmente una cantidad limitada de primos, que serán suficientes para las descomposiciones que haremos a mano.

¿Cómo podemos encontrar números primos?

Sabemos que los números primos son infinitos y muy útiles, pero ¿cómo sabemos qué números son primos? ¿Hay algún método rápido y fiable para encontrarlos? Los problemas de encontrar un primo (de determinado tamaño) y comprobar si un número es primo son muy complejos. Nosotros trabajaremos aquí con casos sencillos, que serán suficientes para los problemas que intentaremos resolver.

Sí que merece la pena hablar de la Criba de Eratóstenes, un algoritmo (método) que permite encontrar todos los números primos hasta un entero dado. Es un método poco eficiente y lento para números altos, pero muy cómodo y fácil de entender para números pequeños.

En el siguiente applet tienes la opción de seguir paso a paso la Criba de Eratóstenes para encontrar todos los números primos menores que 100. Ejecútalo y completa el siguiente ejercicio.

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Ejercicio

Rellena los huecos con todos los números primos menores que 100. Escríbelos de menor a mayor.

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Piensa...

La Criba de Eratóstenes es un proceso muy sencillo. Se empieza por el número más pequeño, el 2, que es primo, y se eliminan sus múltiplos, que lógicamente, son compuestos. Después pasamos al siguiente, el 3, y repetimos el proceso de eliminación con sus múltiplos, luego el 5, luego... El caso es que al llegar a 11 ya no hace falta eliminar más números compuestos menores que 100. ¿Por qué ya no quedan múltiplos de 11 menores que 100?

Texto con marco

En la siguiente tabla encontrarás todos los primos menores que 1000: 

Números primos hasta 1000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181
191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307
311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571
577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701
709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853
857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997