Múltiplos y divisores
¿Son importantes las divisiones exactas?
La multiplicación y la división son operaciones "emparentadas". Una es la operación inversa de la otra. No tienes más que pensar en cualquier par de números enteros y multiplicarlos. Por ejemplo:
De esa multiplicación podemos sacar dos divisiones exactas:
Matemáticamente, se dice que existe una relación de divisibilidad entre 
y 
(o entre y 
). Es exactamente lo mismo que decir que es múltiplo de y , o que y son divisores de .
DEFINICIÓN Existe una relación de divisibilidad entre dos números enteros 
y 
si la división 
es exacta. En ese caso, decimos que es múltiplo de y que es divisor de .
Reflexión
Cuando una división es exacta, si cambiamos el divisor por el cociente, tenemos otra división exacta, así que las relaciones de divisibilidad vienen a pares. Por ejemplo, si consideramos la siguiente división:
Podemos decir que hay una relación de divisibilidad entre 
y 
, que es múltiplo de o que es divisor de .
¿Qué más podemos decir?
, que
¿Todo esto para volver a hablar de multiplicaciones y divisiones?
Vale, es posible que repasar las divisiones exactas no sea un salto conceptual espectacular, pero fíjate otra vez en el primer ejemplo. A partir de una multiplicación, hemos descompuesto en "piezas más pequeñas", pero esa descomposición no es única, podríamos encontrar otras diferentes.
De hecho, si queremos usar más de dos enteros, podemos tener más descomposiciones:
También podríamos utilizar enteros negativos:
¿Cuál es la mejor descomposición? ¿Qué condiciones deberían tener los números que usemos como "piezas más pequeñas"? ¿Valdría el ?, ¿el ?, ¿el 
?
OBSERVACIÓN Todavía no sabemos cómo será la mejor descomposición, pero lo que sí podemos hacer es evitar duplicidades por cuestiones de signo. Por ese motivo, en el resto de la unidad consideraremos siempre enteros positivos, aunque se mencionará en algún momento cómo se haría para los negativos.
¡Ojo con los múltiplos y los divisores!
Los múltiplos de un número contienen a dicho número una cantidad exacta de veces. Para obtener múltiplos de cualquier número no tienes más que multiplicar dicho número por un entero cualquiera.
OBSERVACIÓN
- Todo número entero tiene infinitos múltiplos, excepto el
, que tiene sólo uno (él mismo). - Todo entero es múltiplo de sí mismo y de la unidad (el
).
Los divisores de un número están contenidos en dicho número una cantidad exacta de veces. Para obtener divisores de un número tienes que encontrar divisiones exactas en las que dicho número sea el dividendo.
OBSERVACIÓN
- Todo número entero tiene una cantidad finita de divisores, excepto el , que tiene infinitos divisores (cualquier número menos el propio cero).
- Todo número entero no nulo tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad (el ).
Teniendo en cuenta lo anterior, parece sencillo encontrar múltiplos de cualquier número. Para números pequeños es también sencillo encontrar todos sus divisores, pero para números algo más grandes es mejor seguir una estrategia, ya que, de lo contrario, es normal "olvidarse" de alguno. Veremos un método más adelante.
Ejercicio 1
¿Cuáles de los siguientes números son múltiplos de 3?
Ejercicio 2
Escribe, de menor a mayor, todos los divisores (positivos) de:
a) 
b) 
a) Los divisores de son:
,
,
,
,
,
,
,
y
.
b) Los divisores de son:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ejercicio 3
Completa las siguientes multiplicaciones y vuelve a leer la primera pregunta de la retroalimentación del ejercicio anterior.
a) 
|
g) 
|
b) 
|
h) 
|
c) 
|
i) 
|
d) 
|
j) 
|
e) 
|
k) 
|
f) 
|
tiene un número impar de divisores está en el apartado k). Otros números con un número impar de divisores positivos son, por ejemplo, 
, 
, 
¿Qué tienen en común con