Lógica proposicional

Conjunción: Λ

La conjunción Λ suele expresarse con la expresión “y”, sin embargo, la podemos decir de modos muy distintos ya sea por estilo o por denotar matices psicológicos: (comas, pero, sin embargo…), En todo caso la conjunción la utilizamos para añadir enunciados, por ejemplo:

• Vino, cogió el dinero, se largó = p Λ q Λ r
• Dice que es vegetariana, pero le encanta el pescado = p Λ q
• Aunque dice que le gusta leer, no tiene ningún libro en casa = p Λ q

Piensa que en ocasiones un solo verbo puede servir para expresar varios enunciados: "La miel y las verduras frescas son alimentos alcalinos" donde p = la miel es alcalina y q = las verduras frescas son alcalinas se formaliza: p Λ q

La conjunción afirma la verdad de sus componentes. Será verdadera cuando sus dos componentes lo sea y falsa en el caso de que lo sea al menos uno de ellos.

Si afirmo que vi a un personaje de la televisión y me dio su número de teléfono, esto sólo será cierto cuando lo sean las dos afirmaciones, y falsa en cualquier otro supuesto.

Disyunción: V

La disyunción V en el lenguaje natural puede ser débil o fuerte, inclusiva o exclusiva, esto es, puede indicar que cualquiera de las dos opciones vale o que vale sólo una de las dos.

El símbolo V representa una disyunción inclusiva, de este tipo:

• Se requiere una persona con conocimientos en inglés o en francés = p V q (¡no vamos a excluir a alguien por conocer los dos idiomas!)

El símbolo W representa la disyunción exclusiva. Así,

• Estás en clase o en el patio = p W q (una u otra pero no las dos a la vez)

Así, la disyunción inclusiva de dos proposiciones será verdadera cuando lo sea al menos una de las proposiciones.

Condicional: →

El condicional → expresa oraciones tipo “si… entonces”, sin embargo esa misma implicación entre dos elementos, uno antecedente y otro consecuente, se puede expresar de maneras distintas. Todas estas expresiones se simbolizarían como p → q:

• Si haces los ejercicios, (entonces) lo dominarás
• Siempre que queda con sus amigos vuelve de madrugada (Si queda con sus amigos entonces vuelve de madrugada)
• Enséñame la entrada, entonces te acompañaré
• Pica sobre el icono del altavoz y sonará la canción (¡Ojo! Si picas el icono, entonces sonará la canción)

Debes tener en cuenta que no siempre situamos el antecedente antes del consecuente, por lo que hay que valorar el sentido lógico de la expresión. Por ejemplo, "moriré cuando beba de una vez 7 litros de agua", su sentido lógico no es "si me muero entonces bebo 7 litros de agua", sino al revés: "si bebo 7 litros de agua (p) entonces moriré (q)" p → q

La unión de dos enunciados mediante un condicional p → q puede leerse como “si p, entonces q”, o “p implica q”. En este caso la proposición anterior al condicional, p, es el antecedente y la posterior, q, el consecuente.
La regla que rige la validez de una implicación es la siguiente: ésta será verdadera siempre que no se de el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.
La implicación establece que de darse el primer caso, debe seguirse necesariamente el segundo. Sencillamente expresa que el antecedente es condición suficiente, pero no necesaria, para que se produzca el consecuente.
Si, por ejemplo yo afirmo la siguiente proposición: "siempre que llueve la terraza se moja", esto sólo sería incompatible con que tras llover, la terraza permaneciera seca, ningún otro caso afectaría a la validez de la implicación; de no llover, ni el caso de que la terraza estuviese seca o húmeda serían incompatibles con la afirmación anterior: si está seca sería coherente porque no ha llovido, si está mojada tampoco es contradictorio, ya que lo podría estar por una razón distinta, por ejemplo, por haber sido regada. Llover es condición suficiente para que esté mojada la terraza, pero no es condición necesaria.

Bicondicional: ↔

Negador: ┐

Paso a paso...

Formalizar el lenguaje natural consiste en

1. Determinar las proposiciones que intervienen para simbolizarlas con letras o variables proposicionales.
2. Establecer la estructura lógica existente entre las proposiciones para simbolizarla mediantes las conectivas lógicas.

En este vídeo se explica paso a paso:

Antes de lanzarte a formalizar textos en lenguaje natural, fíjate cómo se hace en estos vídeos:

Caso 1

Llueve y las brujas no se peinan o bien hace sol y las brujas no se peinan

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Caso 2

Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

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Caso 3

Si no es cierto quer las estrellas emiten luz y que los planetas la reflejan, entonces estos no giran alrededor de ellas.

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Caso 4

Si no apruebas o no resuelves este problema, entonces es falso que hayas estudiado o domines la deducción lógica. Pero no dominas la deducción lógica aunque has estudiado.

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Caso 5

Si viene en tren llegará antes de las seis. si viene en coche llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche llegará antes de las seis.

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Caso 6

Si Rosa participa en el municipio escolar entonces los estudiantes se enojan con ella y si no participa en el municipio escolar se enojan los profesores. Pero Rosa, participa en el municipio escolar o no participa. Por lo tanto, los estudiantes o los profesores se enojan con ella.

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Básicas

• Las reglas básicas de inferencia nos deben bastar para la resolución de cualquier derivación, por complejo que sea. Éstas consisten en las reglas de introducción y de eliminación de las conectivas.

Negador

Si de suponer una hipótesis (A), ésta nos condujera a una contradicción (B Λ ┐B), no nos queda sino concluir que esa hipótesis es falsa.

Una doble negación, afirma. Ejemplos:

• Es mentira que esto sea falso, estoy diciendo que es verdadero.
• No es verdad que yo no tenga carné de conducir es equivalente a tengo carné de conducir.

Conjuntor  Λ

Podemos unir dos proposiciones mediante una conjunción y desde una conjunción podemos derivar cualquiera de las dos proposiciones que la componen:

Disyuntor  V

De ser válida una fórmula A, también lo será la que resulte de añadirle, mediante una disyunción, el miembro que deseemos.
Recordemos la tabla de verdad de la deducción: ésta era válida cuando al menos uno de los miembros lo era. Si partimos de que A es verdadero, también lo será A o B, sin importarnos que B sea verdadero o no.

Veamos un ejemplo: Juan tiene estudios de inglés, por lo tanto ocurre que tiene estudios en inglés o en francés.

En todo caso, ésta es una de las reglas que requieren la utilización de supuestos: suponer que ocurre el primer término y llegar desde ahí a la conclusión y suponer que ocurre el segundo para llegar a la misma conclusión. Utilizando las reglas básicas, es el único modo de poder extraer consecuencias desde una disyunción. Más adelante veremos otras reglas que simplificar las disyunciones.

Llegó el momento de que empieces a hacer cálculo lógico. Intenta los Casos 1

Condicional

Si desde una hipótesis o suposición llego a través de una cadena de razonamientos a una conclusión, puedo afirmar que de darse el supuesto, debe ocurrir también la conclusión que se deriva de él.
Pongamos un ejemplo; desde este razonamiento: Si el verano se presenta caluroso, provocará una maduración alcohólica precipitada de la uva y esto a su vez mermará la calidad del vino, puedo inferir este otro argumento: Si el verano es caluroso se mermará la calidad del vino

Dada una fórmula condicional y la afirmación de su antecedente, podemos afirmar su consecuente. Suceder el antecedente (A) es condición suficiente para que se produzca el consecuente (B) y como sucede el antecedente entonces sucede el consecuente.

Practica estas reglas en los Casos 2, 3 y 4

Bicondicional

Una implicación en los dos sentidos es un bicondicional

De un bicondicional o coimplicación pueden derivarse una implicación en un sentido y en el otro.

Negador

Si de suponer una hipótesis (A), ésta nos condujera a una contradicción (B Λ ┐B), no nos queda sino concluir que esa hipótesis es falsa.

Una doble negación, afirma. Ejemplos:

• Es mentira que esto sea falso, estoy diciendo que es verdadero.
• No es verdad que yo no tenga carné de conducir es equivalente a tengo carné de conducir.

Peactica con el Caso 5

Derivadas

• Las reglas de razonamiento obtenidas a partir de las reglas básicas se denominan reglas derivadas. Existen tantas reglas derivadas como fórmulas puedan establecerse a partir de las anteriores. Aquí destacaremos algunas de las más empleadas en los procesos de razonamiento lógico.

Modus Tollens

Si el antecedente es condición suficiente para que se produzca el consecuente, si no se produce el consecuente entonces no se produce el antecedente.

Por ejemplo: si siempre que una persona sufre la gripe tiene fiebre y ocurre que una persona no tiene fiebre, entonces es que no padece la gripe.

Silogismo disyuntivo

Si ocurre una disyunción entre dos elementos y tenemos constancia de que uno de ellos no se da, entonces necesariamente ha de ocurrir el otro.

Por ejemplo: si un médico conoce que una enfermedad puede deberse a factores ambientales o genéticos, descartada la causa genética, necesariamente se confirma una razón ambiental.

De Morgan